Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，则$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 推导出数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此能求出$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$的值．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，
a_n-a_n+1+1=0，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的前2016项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．