题目内容

15．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+lg（1+$\frac{1}{n}$），那么an=2+lgn．

分析 利用对数的运算性质化简数列的递推公式得an+1-an=lg（n+1）-lgn，利用累加法求出数列的通项公式．

解答 解：由an+1=an+lg（1+$\frac{1}{n}$）得，
an+1-an=lg（1+$\frac{1}{n}$）=$lg\frac{n+1}{n}$=lg（n+1）-lgn，
∴a2-a1=lg2-lg1，a3-a2=lg3-lg2，…，an-an-1=lgn-lg（n-1），
以上n-1个式子相加得，an-a1=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+[lgn-lg（n-1）]
=lgn-lg1=lgn，则an=a1+lgn，
∵a1=2，∴an=2+lgn，且n=1时也成立，
 故答案为：2+lgn．

点评 本题考查数列的递推公式的化简，以及累加法求数列的通项公式，属于中档题．

练习册系列答案
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