Question

10．已知等比数列{a_n}中，a₁•a₃=4a₂，a₅=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁•a₃=4a₂，a₅=32，可得
a₁²q²=4a₁q，a₁q⁴=32，
解得a₁=2，q=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．