Question

3．设直线y=2被抛物线P：x²=2py（p＞0）截得的弦长等于8，．
（1）求p的值；
（2）设直线l的方程为y=2x+9，在抛物线P上是否存在两不同点A，B使得A，B关于直线l对称？如存在，求出A，B的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）假设在抛物线P上存在两不同点A，B使得A，B关于直线l对称．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（x₀，y₀），设直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+m，与抛物线方程联立可得x²+4x-8m=0，由△=16+32m＞0，解得m范围．利用中点坐标公式、根与系数的关系可得M．代入直线l的方程解得m并验证即可．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±2\sqrt{p}}\\{y=2}\end{array}\right.$，∴$4\sqrt{p}$=8，解得p=4．
∴p=4．
（2）假设在抛物线P上存在两不同点A，B使得A，B关于直线l对称．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（x₀，y₀）
设直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+m}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，化为x²+4x-8m=0，（*）
△=16+32m＞0，解得$m＞-\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=-2，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，${y}_{0}=-\frac{1}{2}×（-1）+m$=$\frac{1}{2}+m$，
∴M$（-1，\frac{1}{2}+m）$．
代入直线l的方程可得：$\frac{1}{2}+m=2×（-1）+9$，解得m=$\frac{13}{2}$，满足△＞0．
∴（*）化为x²+4x-52=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2\sqrt{14}}\\{y=\frac{15}{2}-\sqrt{14}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2\sqrt{14}}\\{y=\frac{15}{2}+2\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
即A$（-2+2\sqrt{14}，\frac{15}{2}-\sqrt{14}）$，B$（-2-2\sqrt{14}，\frac{15}{2}+2\sqrt{14}）$．

点评 本题考查了直线与抛物线相交得出转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、，考查了推理能力与计算能力，属于难题．