Question

10．已知函数f（x）=|2x-a|+a（其中a为实常数）．
（1）若集合{x|-4≤x≤3}是关于x的不等式f（x）≤6的解集的子集，求实数a的值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值不等式的求法求解解集，利用已知条件即可推出a的范围．
（Ⅱ）已知条件转化为m≥f（n）+f（-n）的最小值通过绝对值的几何意义，即可求解实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3…（3分）
∴a-3≤-4，∴a≤-1．                                       …（5分）
（Ⅱ）只需m≥f（n）+f（-n）的最小值…（6分）
令φ（n）=f（n）+f（-n），
在（1）的条件下，a≤-1
则φ（n）=|2n-a|+|2n+a|+2a≥|（2n-a）-（2n+a）|+2a=|2a|+2a=0
当（2n-a）（2n+a）≤0即$\frac{1}{2}a≤n≤-\frac{1}{2}a$时取等号，
∴φ（n）的最小值为0，…（9分）；
故实数m的取值范围是[0，+∞）．                                     …（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的应用，绝对值的几何意义，考查分析问题解决问题的能力．