Question

15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：$\frac{2sinC-sinB}{sinB}=\frac{acosB}{bcosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；
（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理余弦定理得$\frac{2sinC-sinB}{sinB}=\frac{acosB}{bcosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由sinC=2sinB，得c=2b，
由条件a=3，$A=\frac{π}{3}$，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=3b²，
解得$b=\sqrt{3}，c=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．