Question

14．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求常数λ的值，并写出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求最小的正整数k，使得对任意的n≥k，都有|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法分别求出${a}_{2}=\frac{1}{λ}$，${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$，进一步利用等差中项求出λ的值，最后确定数列的通项公式．
（Ⅱ）利用上步的结论，进一步根据所求的b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$，利用乘公比错位相减法求出数列的和，最后利用所得的关系式，利用赋值法求出恒成立的n的最小值．

解答 解：（Ⅰ）S_n为等差数列{a_n}的前n项和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*）．
令n=1时，解得：${a}_{2}=\frac{1}{λ}$，
令n=2时，解得：${a}_{3}=1+\frac{1}{λ}$
所以：$\frac{2}{λ}=\frac{1}{λ}+1+1$，解得：$λ=\frac{1}{2}$
则：a₂=2，d=1，
所以：a_n=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=n，
所以：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{{3}^{1}}$$+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$$+\frac{n}{{3}^{n}}$①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$$+\frac{n}{{3}^{n+1}}$②
所以：①-②得：
${T}_{n}=\frac{3}{4}-$$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$
使得对任意的n≥k，都有|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$成立．
则：$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}＜\frac{1}{4n}$，
即：$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}＜1$，
设：$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}={d}_{n}$
则：${d}_{1}=\frac{5}{3}$，${d}_{2}=\frac{14}{9}$，d₃=1，
当n≥4时，d_n＜1，
所以：n取最小值为4，$\frac{n（2n+3）}{{3}^{n}}＜1$恒成立．

点评 本题考查的知识要点：等差数列通项公式的求法，利用乘公比错位相减法求数列的和，恒成立问题的应用及相关的运算问题，主要考查学生的运算和探究的能力．