Question

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，
AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（Ⅰ）若 B₁C₁⊥平面CEC₁，求二面角B₁-CE-C₁的余弦值；
（Ⅱ）在线段C₁E上是否存在一点M，使得直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，若存在，求EM：MC₁的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出平面B₁CE和平面CEC₁的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B₁-CE-C₁的正弦值可求；
（Ⅱ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C₁的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD₁A₁的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值，求出λ的值即可求．

解答 解：（Ⅰ）以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，
依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
设平面B₁CE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（1，-2，1）$，$\overrightarrow{CE}=（-1，1，-1）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=x-2y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-x+y-z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（-3，-2，1）$，
又B₁C₁⊥平面CEC₁，故$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=（1，0，-1）$为平面CEC₁的一个法向量，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sin$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}＞$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以二面角B₁-CE-C₁的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
（Ⅱ）可得$\overrightarrow{AE}=（0，1，0），\overrightarrow{E{C}_{1}}=（1，1，1）$．$\overrightarrow{AB}$=（0，0，2）为平面ADD₁A₁的一个法向量，
设$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{E{C}_{1}}=（λ，λ，λ），（0≤λ≤1）$，则$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}=（λ，λ+1，λ）$．
设θ为直线AM与平面ADD₁A₁所成的角，
则sinθ=cos$＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}＞$=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+（λ+1）^{2}+{λ}^{2}}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，得$λ=\frac{1}{3}$，
∴EM：MC₁=1：2．
∴在线段C₁E上存在一点M，使得直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，且EM：MC₁的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．