题目内容
设向量
=（a，c），
=（cosC，-sinA），
⊥
，其中a，b，c分别是△A，B，C中角A，B，C所对的边．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求
sinA-cos（B+
）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
| m |
| n |
| m |
| n |
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求
| 3 |
| π |
| 4 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用
分析：（I））由
⊥
，可得
•
=acosC-csinA=0，再利用正弦定理及同角三角函数基本关系式可得tanC=1，即可得出；
（II）由（I）知：B=
-A．利用两角和差的正弦公式、诱导公式可得
sinA-cos（B+
）=
sinA+cosA=2sin(A+
)，再利用A的范围和正弦函数的单调性即可得出．
| m |
| n |
| m |
| n |
（II）由（I）知：B=
| 3π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（I）∵
⊥
，∴
•
=acosC-csinA=0，
由正弦定理得sinCcosC-sinCsinA=0，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinC=cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=1，
∵0＜C＜π，∴C=
．
（II）由（I）知：B=
-A．
于是
sinA-cos（B+
）=
sinA-cos（π-A）=
sinA+cosA=2sin(A+
)，
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
，
∴当A+
=
时，即A=
时，sin(A+
)取得最大值1，
∴
sinA-cos（B+
）取得最大值2．
此时A=
，B=
．
| m |
| n |
| m |
| n |
由正弦定理得sinCcosC-sinCsinA=0，
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinC=cosC，
∵cosC≠0，∴tanC=1，
∵0＜C＜π，∴C=
| π |
| 4 |
（II）由（I）知：B=
| 3π |
| 4 |
于是
| 3 |
| π |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜
| 3π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 11π |
| 12 |
∴当A+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴
| 3 |
| π |
| 4 |
此时A=
| π |
| 3 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、正弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、诱导公式、正弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
与向量
满足|
|=1，|
|=2，
⊥（
-
），则
与
的夹角是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
