Question

下列命题中：
①若集合A={x|kx²+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②已知函数y=f（3^x）的定义域为[-1，1]，则函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）；
③函数y=

1

1-x

在（-∞，0）上是增函数；
④方程2^|x|=log₂（x+2）+1的实根的个数是2．
所有正确命题的序号是

 

（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：当k=0时，A={-1}，即可判断①；
由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②；
通过函数y=

-1

x

的图象的平移和单调性即可判断③；
运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④．

解答： 解：对于①，当k=0时，A={-1}，也符合题意，则①错；
对于②，函数y=f（3^x）的定义域为[-1，1]，即有-1≤x≤1，则

1

3

≤3x≤3，
则y=f（x）的定义域应该是[

1

3

，3]，则②错；
对于③，y=

1

1-x

的图象可由函数y=

-1

x

的图象向右平移1个单位得到，
由于y=

-1

x

在（-∞，0）递增，则y=

1

1-x

在（-∞，1）递增，则③对；
对于④，在同一坐标系中作出y=2^|x|，y=log₂（x+2）+1的图象，
由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对．
故答案：③④．

点评：本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断，以及函数与方程的转化思想，考查集合的化简，属于基础题和易错题．