Question

已知椭圆C中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点M（1，

3

2

）．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率为1的直L与椭圆交于不同两点A．B，求△AOB面积的最大值及此时直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，从而得到

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，从而求出a，b，c；
（2）设直线L的方程为y=x+b，与椭圆方程联立消元得7x²+8bx+4b²-12=0，从而求出-

7

＜b＜

7

；再由韦达定理及两点间的距离公式求|AB|的长度，再求点O到直线AB的距离，从而写出△AOB的面积S，
利用基本不等式求最值及最值点．从而得到直线L的方程．

解答： 解：（1）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则可得，

a2=b2+c2 a=2c 1 a2 + 9 4b2 =1

，
解得，c=1，a=2，b=

3

；
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线L的方程为y=x+b；
则与

x2

4

+

y2

3

=1联立消y可得，
7x²+8bx+4b²-12=0，
△=（8b）²-4×7×（4b²-12）＞0，
解得-

7

＜b＜

7

；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得，
x₁+x₂=

-8b

7

，x₁x₂=

4b2-12

7

；
故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64b2 49 -4 4b2-12 7

=

4 3

7

7-b2

；
故|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 6

7

7-b2

；
点O到直线AB的距离d=

|b|

2

；
故△AOB的面积S=

1

2

×

4 6

7

7-b2

×

|b|

2

=

2 3

7

(7-b2)b2

≤

2 3

7

•

7-b2+b2

2

=

3

；
（当且仅当7-b²=b²，即b=±

14

2

时，等号成立）；
故此时直线L的方程为：
y=x±

14

2

．

点评：本题考查了圆锥曲线的求法及直线与圆锥曲线的交点及形成的图象的面积问题，属于难题．