Question

7．设G为等边△ABC的重心，过G作直线l分别交AB，AC（不与端点重合）于P，Q，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}$，若△PAG与△QAG的面积之比为$\frac{2}{3}$，则μ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 根据面积比得出λ，μ的关系，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AG}$，从而可以$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AQ}$表示出$\overrightarrow{AG}$，利用共线原理列方程得出μ的值．

解答 解：∵G是等边△ABC的重心，
∴∠PAG=∠QAG=30°，
∵$\frac{{S}_{△PAG}}{{S}_{△QAG}}$=$\frac{\frac{1}{2}PA•GA•sin∠PAG}{\frac{1}{2}QA•GA•sin∠QAG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PA}{QA}=\frac{2}{3}$．
∵AB=AC，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{3}$，即λ=$\frac{2}{3}μ$．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{2μ}$$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{μ}$$\overrightarrow{AQ}$，
延长AG交BC于D，则D为BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}+$$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2μ}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3μ}$$\overrightarrow{AQ}$，
∵P，G，Q三点共线，
∴$\frac{1}{2μ}+\frac{1}{3μ}$=1，解得μ=$\frac{5}{6}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，共线定理，属于中档题．