Question

已知a和b是任意非零实数．
（1）求

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式求得

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值．
（2）由条件利用绝对值三角不等式|2+x|+|2-x|≤4，再根据绝对值的意义可得|2+x|+|2-x|≥4，从而得到|2+x|+|2-x|=4，由此利用绝对值的意义求得x的范围．

解答： 解：（1）∵

|2a+b|+|2a-b|

|a|

=|

2a+b

a

|+|

2a-b

a

|=|2+

b

a

|+|2-

b

a

|≥|（2+

b

a

）+（2-

b

a

）|=4，
所以 

|2a+b|+|2a-b|

|a|

的最小值为4．
（2）∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2-x|），即|2+x|+|2-x|≤4．
而|2+x|+|2-x|表示数轴上的x对应点到-2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，
故|2+x|+|2-x|=4，∴-2≤x≤2，
即实数x的取值范围为：[-2，2]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．