Question

已知函数 ().
（1）若,求函数的极值;
（2）设．
① 当时,对任意,都有成立,求的最大值;
② 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.

Answer 1

（1）极大值是e^－1,极小值
（2）①－1－e^－1 ②(－1,＋∞)

（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e^x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).
所以f ′(x)＝e^x
令f ′(x)＝0,得x₁＝－1,x₂＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0, )		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

 
由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e^－1,f (x)的极小值是f ()＝
（2）① 因为g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x,
当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e^x.
因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,
所以b≤x²－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 记h(x)＝x²－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.
当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;
当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;
所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1;所以b的最大值为－1－e^－1.      ②因为g (x)＝(ax－－2a)e^x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x.
由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0,
整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0.
存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.
等价于存在x＞1,2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
因为a＞0,所以＝.
设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．
因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,
所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)