Question

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，点A（a，0），B（0，b），原点O到直线AB的距离为

2 3

3

，求椭圆M的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先利用离心率建立关于a、c的关系式，进一步利用直线的截距式和点到直线的距离建立关系式，最后求出方程．

解答： 解：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，

c

a

=

2

2

①
点A（a，0），B（0，b）
直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1
原点O到直线AB的距离为

2 3

3

则：

|ab|

a2+b2

=

2 3

3

②
解得：a²=4  b²=2
即：

x2

4

+

y2

2

=1
故答案为：

x2

4

+

y2

2

=1

点评：本题考查的知识要点：椭圆的离心率，直线的截距式，点到直线的距离公式，及椭圆的方程．