Question

16．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE
（2）求三棱锥P-CED的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（2）三棱锥P-CED的体积V_P-CED=V_C-PDE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
∴O是AC中点，
∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
解：（2）∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵S_△PDE=$\frac{1}{2}×AD×PE$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥P-CED的体积V_P-CED=V_C-PDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△PDE}×CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．