Question

13．在下列结论中，正确结论的序号为①②④．
①函数y=sin（kπ-x）（k∈Z）为奇函数；
②若tan（π-x）=2，则${cos^2}x=\frac{1}{5}$；
③函数$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称；
④函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象的一条对称轴为$x=-\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 ①由诱导公式化函数为y=-sin或y=sinx，判断它是奇函数；
②由tan（π-x）=2，利用诱导公式和同角的三角函数关系求出cos²x的值；
③x=$\frac{π}{12}$时2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，由此判断函数$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象不关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称；
④x=-$\frac{2π}{3}$时2x+$\frac{π}{3}$=-π，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，判断$x=-\frac{2π}{3}$是函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$图象的一条对称轴．

解答 解：对于①，函数y=sin（kπ-x）（k∈Z），
由诱导公式可化为y=-sin或y=sinx，是奇函数，命题正确；
对于②，tan（π-x）=2，∴tanx=-2
∴$\frac{sinx}{cosx}$=-2，∴sinx=-2cosx，
∴sin²x+cos²x=（-2cosx）²+cos²x=5cos²x=1，
∴${cos^2}x=\frac{1}{5}$，命题正确；
对于③，x=$\frac{π}{12}$时，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴函数$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象不关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称，命题错误；
对于④，x=-$\frac{2π}{3}$时，2x+$\frac{π}{3}$=-π，cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1，
∴$x=-\frac{2π}{3}$是函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$图象的一条对称轴，命题正确．
综上，正确命题序号是：①②④．

点评 本题以命题真假为载体考查了三角函数的图象与性质的语言问题，是综合题．