Question

函数f（x）=x²-

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x

（x≠0）
（1）求x=3处的切线方程；
（2）求f（x） 的单调区间及极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=2x +

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x2

=

2x3+54

x2

，由此利用导数的几何意义能求出x=3处的切线方程．
（2）令f′（x）=0，得x=-3，由此利用导数性质能求出f（x） 的单调区间及极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-

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x

（x≠0），
∴f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
f′(x)=2x +

54

x2

=

2x3+54

x2

，
∴f（3）=9-

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3

=9-18=-9，即切点坐标为（3，-9），
切线的斜率k=f′（3）=12，∴切线方程为y+9=12（x-3），
整理，得：12x-y+45=0．
（2）令f′（x）=0，得x=-3，
令f′（x）＞0，得-3＜x＜0或x＞0；令f′（x）＜0，得-∞＜x＜-3．
∴f（x）的增区间为（-3，0），（0，+∞），减区间为（-∞，-3），
∴f（x）_极小值=f（-3）=27，无极大值．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．