Question

已知2和-2是函数f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4的两个极值点，a，b∈R．
（1）求a，b的值，
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，由题意知-2，2是方程f'（x）=0的两实根，由韦达定理可求出a，b的值．
（2）将a，b的值代入导函数，然后根据导函数的符号及极值点的定义可确定是极大值、极小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=x²+2ax+b，
由

f′(2)=4+4a+b=0 f′(-2)=4-4a+b=0

得

a=0 b=-4

…．（4分）
（2）由（1）可知f(x)=

1

3

x3-4x+4，∴f′（x）=x²-4…．（5分）
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2
令f′（x）＜0，得-2＜x＜2…．（7分）
则x，f′（x）与f（x）的关系如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值 28 3	单调递减	极小值- 4 3	单调递增

∴f（x）的极大值为：f(-2)=

28

3

；极小值为：f(2)=-

4

3

…．（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属中档题．