Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=

an+2

4

•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知求出等差数列的公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由已知递推式变形，得到即bn=

1

3

bn-1，从而说明数列{b_n}是等比数列；
（3）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=

an+2

4

•b_n，然后利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则d=

a5-a2

5-2

=

18-6

5-2

=4．
∴a_n=a₂+4（n-2）=6+4n-8=4n-2；
（2）由T_n+

1

2

b_n=1  ①，
得b1+

1

2

b1=1，b1=

2

3

．
Tn-1+

1

2

bn-1=1  ②，
①-②得：bn+

1

2

bn-

1

2

bn-1=0，
即bn=

1

3

bn-1．
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列；
（3）由（2）得，bn=2•(

1

3

)n．
∴c_n=

an+2

4

•b_n=

4n-2+2

4

•2•(

1

3

)n=2n•(

1

3

)n．
则Sn=2[1•

1

3

+2•(

1

3

)2+3•(

1

3

)3+…+n•(

1

3

)n]．
令Rn=1•

1

3

+2•(

1

3

)2+…+n•(

1

3

)n．

1

3

Rn=1•(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+n•(

1

3

)n+1．
两式作差得：

2

3

Rn=

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n•(

1

3

)n+1
=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n•(

1

3

)n+1．
∴Sn=

3

2

-(n+

3

2

)•

1

3n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．