题目内容
某物流公司拟建造如图所示的有底容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的下端为圆柱形，上端顶盖为半球形，按照设计要求容器的体积为| 112π |
| 3 |
| 15 |
| 2 |
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的r．（注：球体积V=
| 4 |
| 3 |
考点：函数模型的选择与应用,函数解析式的求解及常用方法,组合几何体的面积、体积问题
专题：导数的综合应用
分析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到h和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用h≥4r，求出自变量r的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
解答：
解：（1）由体积V=
×
πr3+πr2h=
，解得h=
，
∴y=2πrh×3+2πr2×
=6πr×
+15πr2
=π•
，
又h≥4r，即
≥4r，解得0＜r≤2．
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y=π•
=
+13r2=
+
+13r2≥3
=4
，
当且仅当r=
∈（0，2]s时取等号．
建造费用最小时r=
．
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 112π |
| 3 |
| 112-2r3 |
| 3r2 |
∴y=2πrh×3+2πr2×
| 15 |
| 2 |
| 112-2r3 |
| 3r2 |
=π•
| 112+13r3 |
| r |
又h≥4r，即
| 112-2r3 |
| 3r2 |
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y=π•
| 112+13r3 |
| r |
| 112 |
| r |
| 56 |
| r |
| 56 |
| r |
| 3 |
| ||||
| 3 | 637 |
当且仅当r=
2
| ||
| 13 |
建造费用最小时r=
2
| ||
| 13 |
点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．
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