Question

求函数y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

的最小值

 

．

Answer 1

考点：三角函数值的符号

专题：三角函数的求值

分析：法一、由题意可取x∈(0，

π

2

)，然后直接去掉绝对值，通分后令sinx+cosx=t，求出t的范围，把函数化为关于t的函数求最小值．
法二、由题意可知当sinx与cosx异号时函数能取最小值，然后分类取绝对值化简，换元后进行求解最小值，则答案可求．

解答： 解：法一、由题意可取x∈(0，

π

2

)，
则函数y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

转化为：
y=

1

sinx

+

1

cosx

+

cosx

sinx

+

sinx

cosx

，
=

sinx+cosx+1

sinxcosx

．
令sinx+cosx=t，
则sinxcosx=

t2-1

2

．
又t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈(0，

π

2

)，
∴t∈（1，

2

]．
∴y=

t+1

t2-1 2

=

2

t-1

，
∴ymin=2

2

+2．
故答案为：2

2

+2．
法二、由题意可知，
当sinx•cosx＜0时函数y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

有可能取得最小值．
当sinx＞0，cosx＜0时，
y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

=

1

sinx

-

1

cosx

-

cosx

sinx

-

sinx

cosx

=

cosx-sinx-(cos2x+sin2x)

sinxcosx

=

cosx-sinx-1

sinxcosx

．
令cosx-sinx=t，
则sinxcosx=

1-t2

2

．
又t=cosx-sinx=

2

cos(x+

π

4

)∈[-

2

，-1)．
∴y=

t-1

1-t2 2

=-

2

t+1

，
∴y_min=2

2

+2；
当sinx＜0，cosx＞0时，
y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

=-

1

sinx

+

1

cosx

-

cosx

sinx

-

sinx

cosx

=

sinx-cosx-1

sinxcosx

．
令sinx-cosx=t，
则sinxcosx=

1-t2

2

．
又t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)∈[-

2

，-1)．
∴y=

t-1

1-t2 2

=-

2

t+1

，
∴y_min=2

2

+2．∈
综上，函数y=

1

|sinx|

+

1

|cosx|

+

|cosx|

|sinx|

+

|sinx|

|cosx|

的最小值为2

2

+2．
故答案为：2

2

+2．

点评：本题考查了三角函数值的符号，考查了分类讨论的数学思想方法和换元法，体现了数学转化思想方法，关键是换元后由三角函数的符号得到变量的取值范围，是中档题．