题目内容
点A、B、C都在圆x2+y2=1上，A和B的横坐标分别是1和| 3 |
| 5 |
（1）求
| OB |
| OC |
（2）求sin（α+2β）的值．
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,任意角的三角函数的定义
专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）根据点A、B、C都在圆x2+y2=1上，A和B的横坐标分别是1和
，BC∥OA，可以求出A、B、C的坐标，因此可出得出向量
与向量
的坐标，然后利用向量内积运算的坐标公式求出
•
的值；
（2）利用两角和的正弦公式展开，然后利用倍角公式化成单角形式，结合第（1）问和图形求出sinα，sinβ，cosα，cosβ代入即可求出sin（α+2β）的值．
| 3 |
| 5 |
| OB |
| OC |
| OB |
| OC |
（2）利用两角和的正弦公式展开，然后利用倍角公式化成单角形式，结合第（1）问和图形求出sinα，sinβ，cosα，cosβ代入即可求出sin（α+2β）的值．
解答：
解：（1）假设B在第一象限，则B（
，
），
∵BC∥OA，
∴向量
与向量
共线，所以C=（-
，
），
∴向量
=（
，
），向量
=（-
，
），
∴
•
=
×(-
)+
×
=
．
（2）sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β
=sinα（1-2sin2β）+2cosαsinβcosβ
由（1）知：tan∠OAB=2，
所以sin∠OAB=
，所以sinα=
，cosα=
，
sinβ=
，cosβ=
，
所以sin（α+2β）=-
．
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵BC∥OA，
∴向量
| BC |
| OA |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴向量
| OB |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| OC |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴
| OB |
| OC |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
（2）sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β
=sinα（1-2sin2β）+2cosαsinβcosβ
由（1）知：tan∠OAB=2，
所以sin∠OAB=
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
sinβ=
| 24 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
所以sin（α+2β）=-
718
| ||
| 3125 |
点评：本题考查了向量的内积运算、两角和的正弦公式及倍角公式，解题的关键是结合图形计算三角函数值．
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