题目内容
已知函数f（x）=
，x∈（0，1）．
（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求u=
+
+
的最小值．
| x |
| 1+x2 |
（1）设x1，x2∈（0，1），证明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求u=
| 3a2-a |
| 1+a2 |
| 3b2-b |
| 1+b2 |
| 3c2-c |
| 1+c2 |
考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）求f′（x），判断f′（x）的符号，得到f（x）在（0，1）上是增函数，所以x1-x2≥0时，f（x1）-f（x2）≥0，所以（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）根据（1），u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]=（a-b）[f（a）-f（b）]+（b-c）[f（b）-f（c）]+（c-a）[f（c）-f（a）]≥0，所以u的最小值为0．
（2）根据（1），u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]=（a-b）[f（a）-f（b）]+（b-c）[f（b）-f（c）]+（c-a）[f（c）-f（a）]≥0，所以u的最小值为0．
解答：
解：（1）x∈（0，1）时，f′（x）=
＞0；
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；
∴设x1，x2∈（0，1），不妨设x1≤x2，则f（x1）≤f（x2）；
∴（x1-x2）[f（x1-f（x2）]≥0；
（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1；
∴a，b，c∈（0，1）；
∴由（1）及a+b+c=1得：u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）
=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]
=（a-b）[f（a）-f（b）]+（a-c）[f（a）-f（c）]+（b-c）[f（b）-f（c）]≥0；
∴u的最小值为0；
| 1-x2 |
| (1+x2)2 |
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增；
∴设x1，x2∈（0，1），不妨设x1≤x2，则f（x1）≤f（x2）；
∴（x1-x2）[f（x1-f（x2）]≥0；
（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c=1；
∴a，b，c∈（0，1）；
∴由（1）及a+b+c=1得：u=f（a）（2a-b-c）+f（b）（2b-c-a）+f（c）（2c-a-b）
=f（a）[（a-b）+（a-c）]+f（b）[（b-c）+（b-a）]+f（c）[（c-a）+（c-b）]
=（a-b）[f（a）-f（b）]+（a-c）[f（a）-f（c）]+（b-c）[f（b）-f（c）]≥0；
∴u的最小值为0；
点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，函数单调性的定义，对于第二问想着用上第一问的结论即可．
练习册系列答案
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一个体积为下列椭圆的形状哪一个更圆（ ）
| A、9x2+y2=36 | ||||
B、
| ||||
| C、x2+9y2=36 | ||||
D、
|