Question

5．已知函数f（x）=x（lnx-ax）有极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，得到函数f（x）的单调性，从而确定a的范围即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有极值，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
x→0时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→+∞，
故存在x₀∈（0，+∞），使得f（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
故f（x）的极大值是f（x₀），符合题意；
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=$\frac{1}{2a}$时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根，则g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
综上：实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，是中档题．