Question

10．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（Ⅰ）求证：CE²=CD•CB．
（Ⅱ）若AB=2，BC=$\frac{12}{5}$，求CE与CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证CE²=CD•CB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；
（Ⅱ）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的长．

解答 （Ⅰ）如图示：

证明：连接BE，
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°，
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO，
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，∴CE²=CD•CB；
（Ⅱ）∵OB=1，BC=$\frac{12}{5}$，∴OC=$\frac{13}{5}$，
∴CE=OC-OE=$\frac{8}{5}$，
由（Ⅰ）得：CE²=CD•CB，
∴${（\frac{8}{5}）}^{2}$=$\frac{12}{5}$•CD，
∴CD=$\frac{16}{15}$．

点评 本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．