Question

17．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2$\sqrt{3}$，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值．

解答 解：表面积为20π的球的半径为$\sqrt{5}$．
画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
取AD的中点E，则OE⊥AD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，
设球心为G，
∵OA=OD=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{4}}$，AD=2$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{9-\frac{{a}^{2}}{4}}$
设球的半径为R，GE=x，则R²=5=3+x²=$\frac{{a}^{2}}{4}$+（$\sqrt{9-\frac{{a}^{2}}{4}}$-x）²，
∴x=$\sqrt{2}$，a=3$\sqrt{2}$
故选：C．．

点评 考查四面体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键，考查计算能力，转化思想．