Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π，ω＞0），且函数y=f（x）图象的相邻对称轴的距离为

π

2

（1）求f（

π

8

）  
（2）写出函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数是偶函数求得φ，再由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

求得函数周期，由周期公式求ω，则可求f（

π

8

）；
（2）由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得函数f（x）的单调减区间．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，
∴φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
由函数y=f（x）的图象的两相邻对称轴的距离为

π

2

，得

T

2

=

π

2

，
∴T=π，则ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
∴f（

π

8

）=2cos（2×

π

8

）=

2

．
（2）∵由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间是：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，训练了复合函数单调性的求法，是中档题．