Question

已知圆F₁：x²+（y+1）²=1，圆F₂：x²+（y-1）²=9，若动圆C与圆F₁外切，且与圆F₂内切，则动圆圆心C的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹，进而可求其方程．

解答： 解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，
由题意，圆F₁：x²+（y+1）²=1与圆F₂：x²+（y-1）²=9内切，∴y≠-2．
∵动圆C与圆F₁外切，且与圆F₂内切，
∴|CF₁|=1+r，|CF₂|=3-r，
∴|CF₂|+|CF₁|=4＞2，
∴点C的轨迹是以点F₁，F₂为焦点的椭圆，
此时2a=4，2c=2，
即a=2，c=1，b²=3，
∴动圆圆心C的轨迹方程是

y2

4

+

x2

3

=1(y≠-2)．
故答案为：

y2

4

+

x2

3

=1(y≠-2)．

点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，确定点C的轨迹是以点F₁，F₂为焦点的椭圆是关键．