Question

9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$2sinAsinC（\frac{1}{tanAtanC}-1）=-1$．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若$a+c=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，b=\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（Ⅰ）∵$2sinAsinC（\frac{1}{tanAtanC}-1）=-1$．
∴2cosAcosC（tanAtanC-1）=1
∴2cosAcosC（$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$-1）=1，
∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，
即cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{27}{4}$-2ac-3=ac，即ac=$\frac{5}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．