Question

已知点P（x₀，y₀）是圆C：（x-2）²+（y-2）²=8内一点（C为圆心），过P点的动弦AB．
（1）如果P（1，1），|AB|=2

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，求弦AB所直线方程．
（2）如果P（1，1），当∠PAC最大时，求直线AP的方程．
（3）过A、B作圆的两切线相交于点M，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）当AB⊥x时，a=2

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，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；
（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大；
（3）求出圆C在A、B处的切线方程，可得AB的方程，点P（x₀，y₀）在AB上，即可得出结论．

解答： 解：（1）当AB⊥x时，a=2

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，此时AB：x=1，由对称性可得另一条弦所在直线方程为y=1；
（2）由于以PC为直径的圆在圆C内，所以∠PAC为锐角，过C作PA的垂线，垂足为N，当NC最大时，∠PAC最大，
∵NC≤PC，
∴N，P重合时，∠PAC最大，
此时PA⊥PC，直线AP的方程为y=-x+2；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x′，y′），
圆C在A、B处的切线方程分别为：（x₁-2）（x-2）+（y₁-2）（y-2）=8，（x₂-2）（x-2）+（y₂-2）（y-2）=8，它们交于点M，
所以(x1-2)(x/-2)+(y1-2)(y/-2)=8，(x2-2)(x/-2)+(y2-2)(y/-2)=8，
∴AB的方程为（x-2）（x′-2）+（y-2）（y′-2）=8，
∵点P（x₀，y₀）在AB上，
∴（x₀-2）（x′-2）+（y₀-2）（y′-2）=8，
∴动点M的轨迹方程为（x₀-2）（x′-2）+（y₀-2）（y′-2）=8．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．