Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，离心率为e，半长轴长为a．
（1）若焦距长2c=4

2

，且

2

3

、e、

4

3

成等比数列，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：ex-y+a=0与x轴、y轴分别相交于M、N两点，P是直线l与椭圆C的一个交点，且

MP

=λ

MN

，求λ的值；
（3）若不考虑（1），在（2）中，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于焦距长2c=4

2

，可得c=2

2

．由

2

3

、e、

4

3

成等比数列，可得e=

2 2

3

=

c

a

，a=3，利用b²=a²-c²即可得出．
（2）在（1）的条件下，直线l：ex-y+a=0为2

2

x-3y+9=0，与x轴、y轴分别相交于M(-

9 2

4

，0)、N（0，3）两点，设P（x₀，y₀），与椭圆方程联立化为x2+4

2

x+8=0，解得P(-2

2

，

1

3

)．由

MP

=λ

MN

，利用向量坐标运算、向量相等即可得出．
（3）直线l：ex-y+a=0与x轴、y轴分别相交于M(

a2

c

，0)、N（0，a）两点，与椭圆方程联立可得（x+c）²=0，解得P(-c，

b2

a

)．由于

MP

=λ

MN

，可得λ=e²+1，即可得出．

解答： 解：（1）∵焦距长2c=4

2

，∴c=2

2

，
由

2

3

、e、

4

3

成等比数列，可得e2=

2

3

×

4

3

，解得e=

2 2

3

=

c

a

，
∴a=3，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

9

+y2=1；
（2）在（1）的条件下，直线l：ex-y+a=0为2

2

x-3y+9=0，与x轴、y轴分别相交于M(-

9 2

4

，0)、N（0，3）两点，
设P（x₀，y₀），则

x

2 0

+9

y

2 0

=9．
联立

2 2 x-3y+9=0 x2+9y2=9

，化为x2+4

2

x+8=0，解得x=-2

2

，∴y=

1

3

，即P(-2

2

，

1

3

)．
∵

MP

=λ

MN

，∴(

2

4

，

1

3

)=λ(

9 2

4

，3)，∴3λ=

1

3

，解得λ=

1

9

．
（3）直线l：ex-y+a=0与x轴、y轴分别相交于M(

a2

c

，0)、N（0，a）两点，
联立

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，化为（x+c）²=0，解得x=-c，y=

b2

a

．即P(-c，

b2

a

)．
∵

MP

=λ

MN

，
∴-c-

a2

c

=-

λa2

c

，
化为λ=e²+1，
∵e∈（0，1），
∴λ∈（1，2）．

点评：本题可怜虫椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆位置关系转化为方程联立可得交点坐标、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．