Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，PA=PC，PD⊥PB，AC∩BD=E，二面角P-AC-B的大小为60°．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）求二面角E-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥PE，AC⊥BD，由此能证明AC⊥PB．
（2）推导出CE⊥PD，过E作EH⊥PD于H，连接CH，则PD⊥面CEH，∠CHE是二面角E-PD-C的平面角．由此能求出二面角E-PD-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵E是AC的中点，PA=PC，
∴AC⊥PE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PE∩BD=E，∴AC⊥面PDB，
又PB?面PDB，∴AC⊥PB．
解：（2）由（1）CE⊥面PDB，PD?面PDB，∴CE⊥PD，
过E作EH⊥PD于H，连接CH，则PD⊥面CEH，
又CH?面CEH，则PD⊥CH，
∴∠CHE是二面角E-PD-C的平面角．
由（1）知∠PEB是二面角P-AC-B的平面角，所以∠PEB=60°，
设AB=a，在Rt△PDB中，$PE=\frac{1}{2}BD=BE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，△PBE是等边三角形，$PB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，EH是△PBD的中位线，
则$EH=\frac{1}{2}PB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，$CE=\frac{a}{2}$，CH=$\sqrt{C{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}a$，
∴$cos∠CHE=\frac{EH}{CH}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
即二面角E-PD-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．