Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC=，AB=4，BC=3，CD=，AD=2，PA=4.

（1）证明：CD⊥平面PAD；

（2）求二面角B-PC-D的余弦值..

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.

（2）以点为坐标原点，的延长线为，为轴，过点与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.

（1）连接，由∠ABC=，AB=4，BC=3，

则，

又因为CD=，AD=2，

所以，即，

因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，所以CD⊥平面PAD；

（2）以点为坐标原点，的延长线为，为轴，

过点与平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图：

作交与点，

，即，

所以，，

所以，

所以，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，即，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，即，

由，

所以二面角B-PC-D的余弦值为.