Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若在定义域内单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）若存在极大值点，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，由恒成立，分离参数后转化为求新函数（）的最值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用单调性计算的零点，得的极大值点，再研究函数值证得结论．

解：（Ⅰ）在定义域内单调递增，

在恒成立，即在恒成立.

令，，则，当时，；当时，；

在上单调递减，上单调递增

.

，的取值范围是.

（Ⅱ）存在极大值点，至少存在一个零点，由（Ⅰ）知，.

即函数的图像与直线至少存在一个交点，

由（Ⅰ）知，在上单调递减，上单调递增，，

取，，在上存在一个零点.

由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，，即，，

取，，在上存在一个零点，

即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，且，即.

，即.