Question

【题目】如图，长方体的底面为正方形，，，，，是棱的中点，平面与直线相交于点．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出，设点为的中点，连接，，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能证明平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的正弦值．

（1）证明：平面平面，

平面平面，

平面平面，

，由题意得，

设点为的中点，连接，，

是棱的中点，，

平面，平面，

平面，

，，

，

平面，平面，

平面，

，

平面平面，

平面，

平面；

（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，

∴，，，，

，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

由，

，

二面角的正弦值为．