Question

【题目】如图，已知圆，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为椭圆.

（1）分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点，若，求的面积；

（2）如图，若椭圆，椭圆（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆.已知是椭圆的倍相似椭圆，若椭圆的任意一条切线交椭圆于两点、，试求弦长的取值范围.

Answer 1

【答案】(1);(2) .

【解析】

(1)根据线段中垂线的性质，可求出的方程为，由椭圆的定义可知，结合已知条件可求出，又，结合余弦定理以及同角三角函数的基本关系可求出，进而可求出三角形的面积.

(2)当切线斜率不存在时，可求出；若斜率存在，设方程为，与联立可知，即；与联立，结合韦达定理、弦长公式可求出，从而可求出弦长的取值范围.

(1)解：由题意知，圆心，半径，且，

设椭圆的方程为，焦点坐标为，由椭圆的定义可知，，

解得，所以，所以的方程为.

因为为椭圆上任意一点，所以，由，可知

，又因为，由余弦定理知，

，所以，

则的面积为.

(2)由(1)知，的方程为，即.设.

①若切线垂直于轴，其方程为，不妨设为，则 ，解得，

所以此时，；同理对于切线为时，求出.

②若切线不垂直于轴，设其方程为，，整理得

，则，即()；

切线与联立得，整理得，

所以，则

.

因为，所以，从而.

综上所述，的取值范围为.