Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$≤a，求2a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及余弦定理，转化求解即可．
（2）利用正弦定理化简2a-b的表达式，通过两角和与差的三角函数化简，结合角的范围求解最值即可．

解答 解：（1）由已知和正弦定理得：（a-c）（a+c）=b（a-b）
故a²-c²=ab-b²，故a²+b²-c²=ab，----------（2分）
得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{π}{3}$．----------（4分）
（2）因为$c=\sqrt{3}$，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=2$
得a=2sinA，b=2sinB，---------------（6分）
$2a-b=4sinA-2sinB=4sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）$
=$3sinA-\sqrt{3}cosA=2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$-------------（8分）
因为c≤a，所以$\frac{π}{3}≤A＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}≤A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
所以$2a-b∈[{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}）$-------------（10分）

点评 考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的化简以及最值的求法，考查计算能力．