Question

18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（2b，1）．$\overrightarrow{n}$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角A的值；
（2）若b，a，c成等比数列．且△ABC的外接圆半径R=$\sqrt{3}$．试求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）由已知及平面向量平行的坐标表示，正弦定理可求2sinBcosA=sinB，由于sinB≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由等比数列的性质可求a²=bc，利用正弦定理可求a=3，bc=9，利用余弦定理可求b+c=6，联立可得b=c=3，即可解得△ABC的内切圆半径．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2b，1）．$\overrightarrow{n}$=（ccosA+acosC，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2bcosA=ccosA+acosC，
∴由正弦定理可得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b，a，c成等比数列．∴a²=bc，
∵A=$\frac{π}{3}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{3}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，可得：a=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴bc=9，①
∵3²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc=（b+c）²-27，可得：b+c=6，②
∴联立①②可得：b=c=3，
∴△ABC的内切圆半径r=$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{c}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了平面向量平行的坐标表示，正弦定理，等比数列的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．