Question

6．设曲线y=x²在点（2，4）处的切线与曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 利用y=x²在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．

解答 解：∵y=x²，
∴y'=2x．x=2，y'=4
∵y=x²在点（2，4）处的切线与曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上点P处的切线垂直，
∴曲线$y=\frac{1}{x}$（x＞0）上点P处的切线斜率为-$\frac{1}{4}$．
又y'=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，设点P（x₀，y₀）
∴-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$，
∴x₀=±2，∵x＞0，∴x₀=2，
∴y₀=$\frac{1}{2}$，
∴点P$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．
故答案为$（2，\;\;\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于中档题．