Question

11．在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（-3，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t²-8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．
（2）曲线C的方程x²+y²-2x-3=0可化为（x-1）²+y²=4，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．

解答 解：（1）将曲线C的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0
化为直角坐标方程为x²+y²-2x-3=0，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
将参数方程代入x²+y²-2x-3=0，整理得t²-8tcosα+12=0，
∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos²α-48≥0，
∴cosα≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或cosα≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∵α∈[0，π），
∴α的取值范围是[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π）．
（2）曲线C的方程x²+y²-2x-3=0可化为（x-1）²+y²=4，
其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
∵M（x，y）为曲线上任意一点，
∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴x+y的取值范围是[1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．