Question

给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题；
③数列{a_n}为等差数列的充要条件是：对任意n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确结论共有

 

个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，写出命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定为“?x∈R，x²-x≤0”，再判断即可；
对于②，写出命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命，举例分析判断即可；
对于③，利用充分必要条件的概念可判断③；
对于④，依题意，可知y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，且奇函数y=f（x）为R上的增函数，偶函数y=g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减，从而可判断④．

解答： 解：对于①，命题“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，故①正确；
对于②，命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am²＜bm²”错误，当m=0时，am²=bm²=0，故②错误；
对于③，若对任意n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，数列{a_n}为等差数列，充分性成立；
反之，若数列{a_n}为等差数列，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，则a_n+a_n+2=2a_n+1，即必要性成立，
故数列{a_n}为等差数列的充要条件是：对任意n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1，③正确；
对于④，对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），则y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，
又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
所以，奇函数y=f（x）为R上的增函数，偶函数y=g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减，
所以，当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，
所以，当x＜0时，f′（x）＞g′（x），故④正确．
综上所述，其中正确结论共有①③④，3个，
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查特称命题的否定，四种命题的关系及真假判断，考查充分必要条件的判断，对于④的判断是难点，考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于难题．