Question

12．如图，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，点E，F分别在AB，BC上，AE=CF=$\frac{5}{4}$，O为AC边上的中点，EF交BO于点H，将△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=$\sqrt{10}$．
（1）证明：B′H⊥平面ABC；
（2）求二面角B-B′A-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明EF⊥B′H，B′H⊥OH，即可得到B′H⊥平面ABC．
（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解．

解答 解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
且AB=BC，又$AE=CF=\frac{5}{4}$，∴$\frac{BE}{EA}=\frac{BF}{FC}$，则EF∥AC．
又由AB=BC，得AC⊥BO，则EF⊥BO，
∴EF⊥BH，故H为EF中点，则EF⊥B′H，
∵AC=6，∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，
∴$OH=\frac{AE}{AB}\;•\;OB=1$，则BH=B′H=3，
∴|OB'|²=|OH|²+|B'H|²，则B′H⊥OH，
又OH∩EF=H，∴B′H⊥平面ABC．
（2）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

∵AB=5，AC=6，
∴B（-3，0，0），C（1，3，0），B'（0，0，3），A（1，-3，0），$\overrightarrow{AB}=（-4，\;\;3，\;\;0）$，$\overrightarrow{AB'}=（-1，\;\;3，\;\;3）$，$\overrightarrow{AC}=（0，\;\;6，\;\;0）$．
设平面ABB′的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（x，\;\;y，\;\;z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\;•\;\overrightarrow{AB}=0，\;\;\\ \overrightarrow{n_1}\;•\;\overrightarrow{AB'}=0，\;\;\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-4x+3y=0，\;\;\\-x+3y+3z=0，\;\;\end{array}\right.$
取x=3，得y=4，z=-3．
∴$\overrightarrow{n_1}=（3，\;\;4，\;\;-3）$．
同理可求得平面AB′C的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（3，\;\;0，\;\;1）$．
设二面角B-B'A-C的平面角为θ，则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}\;•\;\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{3}{{\sqrt{85}}}$．
∴二面角B-B'A-C的余弦值为$cosθ=\frac{{3\sqrt{85}}}{85}$．

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求解二面角，属于中档题．