Question

9．若等比数列{a_n}的前n项和S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a（n∈N^*），则数列{a_n}的各项和为-1．

Answer 1

分析 由数列的前n项和求出首项和通项公式（n≥2），把首项代入求a，得到等比数列的通项公式，求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．

解答 解：由${S}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}+a$，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+a$，
${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（\frac{1}{2}）^{n}+a-（\frac{1}{2}）^{n-1}-a$=$-（\frac{1}{2}）^{n}$（n≥2），
∵数列{a_n}是等比数列，∴$\frac{1}{2}+a=-\frac{1}{2}$，得a=-1．
∴${a}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n}$，则${a}_{1}=-\frac{1}{2}，q=\frac{1}{2}$，
则数列{a_n}的各项和为$\frac{{a}_{1}}{1-q}=\frac{-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=-1$．
故答案为：-1．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了无穷递缩等比数列的所有项和的求法，是基础题．