Question

20．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），则动点P的轨迹为椭圆；
④过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条；
其中真命题的序号为②④．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 ①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离；②正确．方程2x²-5x+2=0的两根$\frac{1}{2}$和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．由此可知P点的轨迹是一个圆；④正确．先看当直线斜率不存在时，联立方程，再看直线斜率存在时设出直线方程，与抛物线方程联立有一个交点时求k的值．

解答 解：①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．
当点P在顶点AB的延长线上时，K=|AB|，显然这种曲线是射线，而非双曲线；
②正确．方程2x²-5x+2=0的两根分别为$\frac{1}{2}$和2，$\frac{1}{2}$和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③不正确．根据平行四边形法则，易得P是AB的中点．根据垂径定理，
圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为C，
那么有CP⊥AB即∠CPB恒为直角．由于CA是圆的半径，是定长，
而∠CPB恒为直角．也就是说，P在以CP为直径的圆上运动，
∠CPA为直径所对的圆周角．所以P点的轨迹是一个圆，如图．
④正确．当直线斜率不存在时，直线的方程为x=0，与抛物线方程联立求得x=0，y=0，此时直线与抛物线只有一个交点；当直线斜率存在时，设直线方程y=kx+1，与抛物线方程联立得k²x²+（2k-4）x+1=0，
当k=0时，y=1代入抛物线求得x=1，此时直线与抛物线有一个交点，
当k≠0，要使直线与抛物线只有一个交点需△=（2k-4）²-4k²=0，求得k=1，
综合可知要使直线与抛物线仅有个公共点，这样的直线有3条，
故答案为：②④．

点评 本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，及圆锥曲线的共同特征---离心率，考查了学生的灵活把握定义及基础知识的能了，是中档题．