Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n+a_n+n=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+1．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式可得an+1=

1

2

(an-1+1)，即可证明；
（2）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵S_n+a_n+n=0，∴当n≥2时，S_n-1+a_n-1+（n-1）=0，a_n+a_n-a_n-1+1=0，
∴an+1=

1

2

(an-1+1)，
∵b_n=a_n+1，
∴bn=

1

2

bn-1．
当n=1时，a₁+a₁+1=0，解得a1=-

1

2

．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

；
（2）解：由（1）可得：b_n=(

1

2

)n，
∴a_n=b_n-1=(

1

2

)n-1．
∴a_nb_n=(

1

4

)n-(

1

2

)n．
∴数列{a_nb_n}前n项和T_n=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=-

2

3

+

1

3×4n

+

1

2n

．

点评：本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．