Question

给出下列命题：
①“?x₀∈R，使得x₀²-x₀+1＜0”的否定是“?x∈R，使得x²-x+1≥0”；
②

a

•

b

＞0是向量

a

，

b

的夹角为锐角的充要条件；
③设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足acosB-bcosA=

3

5

c，则

tanA

tanB

=4；
④记集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足“由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC”的概率为

3

16

．
以上命题正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①中，由特称命题的否定是全称命题，判定该命题正确；
②中，由

a

•

b

＞0时，cosθ＞0，∴θ为锐角或0°，判定该命题错误；
③中，由acosB-bcosA=

3

5

c得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC，化简得

tanA

tanB

=4，判定命题正确；
④中，由集合M→N的映射f有4³种，从中任取一个映射满足由点A、B、C构成△ABC且AB=BC的事件有4×3种，
得出概率为

12

64

，判定命题正确．

解答： 解：对于①，“?x₀∈R，使得x₀²-x₀+1＜0”的否定是“?x∈R，x²-x+1≥0”，∴命题正确；
对于②，

a

•

b

＞0时，cosθ＞0，∴θ为锐角或0°；∴不是充要条件，命题错误；
对于③，△ABC中，∵acosB-bcosA=

3

5

c，∴sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC=

3

5

sin（A+B）=

3

5

sinAcosB+

3

5

cosAsinB，
∴

2

5

sinAcosB=

8

5

cosAsinB，∴

tanA

tanB

=4，∴命题正确；
对于④，∵集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，∴映射f：M→N有4³=64种；
∵由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC，∴f（1）=f（3）≠f（2）；
∵f（1）=f（3）有四种选择，f（2）有3种选择，
∴从中任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的事件有4×3=12种，
∴任取一个映射满足由点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））构成△ABC且AB=BC的概率为

12

64

=

3

16

；∴命题正确．
综上，正确的命题有①③④．
故选：C．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了特称命题与全称命题，平面向量的数量积，正弦定理和三角函数的恒等变换，古典概型的应用等基础知识，是中档题．