题目内容
（1）如图1，在四面体ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面体所得截面为EFGH．
（ⅰ）若AB=a，CD=b （a＞b），求截面EFGH的周长的范围．
（ⅱ）如果AB与CD所成角为θ，AB=a，CD=b是定值，当E在AC何处时？截面EFGH的面积最大，最大值是多少？
（2）如图2，若点M为四面体ABCD底面△BCD的重心，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱AB，AC，AD交于B1，C1，D1与AM交于点M1，试探求：
+
+
=x
中x的值，并证明．
（ⅰ）若AB=a，CD=b （a＞b），求截面EFGH的周长的范围．
（ⅱ）如果AB与CD所成角为θ，AB=a，CD=b是定值，当E在AC何处时？截面EFGH的面积最大，最大值是多少？
（2）如图2，若点M为四面体ABCD底面△BCD的重心，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱AB，AC，AD交于B1，C1，D1与AM交于点M1，试探求：
| AB |
| AB1 |
| AC |
| AC1 |
| AD |
| AD1 |
| AM |
| AM1 |
考点：平面的基本性质及推论,基本不等式在最值问题中的应用
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：（1）（ⅰ）利用线面平行的判定与性质，证出EF∥GH且EH∥FG，从而得到四边形EGFH的两组对边分别平行，即四边形EFGH为平行四边形．
（ⅱ）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
（2）利用平面与平面平行的性质，即可得出结论．
（ⅱ）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
（2）利用平面与平面平行的性质，即可得出结论．
解答：
（1）（ⅰ）证明：∵AB∥平面EFGH，AB?平面CAB，平面CAB∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF．
同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四边形EFGH为平行四边形．
且AB=a，CD=b （a＞b），∴
=
①，
=
②，
则①+②得，
+
=1，
∴EH=b-
EF，
∴四边形EFGH的周长=2（EH+EF）=2（b+
EF），
∵0＜EF＜a，∴四边形EFGH的周长为（2b，2a）；
（ⅱ）∵BA与DC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH为平行四边形，令
=λ(0＜λ＜1），
∵
=
，
=
∴EH=（1-λ）b，EF=λa
SEFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴当λ=
时，即E为AC中点时，截面EFGH面积最大，最大值为
absinθ；
（2）当截面无限接近底面时，可得x=3，证明如下：
由题意，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱AB，AC，AD交于B1，C1，D1与AM交于点M1，
∴AB∥A1B1，BC∥B1C1，AC∥A1C1，
∴
=
，
=
，
=
，
∴
+
+
=3•
．
∴AB∥EF．
同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四边形EFGH为平行四边形．
且AB=a，CD=b （a＞b），∴
| EH |
| b |
| AE |
| AC |
| EF |
| a |
| CE |
| AC |
则①+②得，
| EH |
| b |
| EF |
| a |
∴EH=b-
| b |
| a |
∴四边形EFGH的周长=2（EH+EF）=2（b+
| a-b |
| a |
∵0＜EF＜a，∴四边形EFGH的周长为（2b，2a）；
（ⅱ）∵BA与DC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH为平行四边形，令
| CE |
| CA |
∵
| EH |
| b |
| AE |
| AC |
| EF |
| a |
| CE |
| AC |
∴EH=（1-λ）b，EF=λa
SEFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴当λ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（2）当截面无限接近底面时，可得x=3，证明如下：
由题意，任意作一平行于底面的截面分别与侧棱AB，AC，AD交于B1，C1，D1与AM交于点M1，
∴AB∥A1B1，BC∥B1C1，AC∥A1C1，
∴
| AB |
| AB1 |
| AM |
| AM1 |
| AC |
| AC1 |
| AM |
| AM1 |
| AD |
| AD1 |
| AM |
| AM1 |
∴
| AB |
| AB1 |
| AC |
| AC1 |
| AD |
| AD1 |
| AM |
| AM1 |
点评：考查线面垂直的性质，线面平行的性质定理，以及平行线分线段成比例，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=ax-
（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
| 1 |
| a |
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
=
，
=
，则
=（ ）
| AB |
| a |
| AC |
| b |
| AD |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|