Question

已知点F是抛物线C：的焦点，S是抛物线C在第一象限内的点，且|SF|=.

（Ⅰ）求点S的坐标；
（Ⅱ）以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交轴于点E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）①详见解析，②

试题分析：（1）由抛物线定义等于点到准线的距离，可求点的横坐标，代入抛物线方程求点的纵坐标；（2）由已知直线斜率互为相反数，可设其中一条斜率为，写出直线方程并与抛物线联立之得关于的二次方程（其中有一根为1），或的一元二次方程（其中有一根为1），再利用韦达定理并结合直线方程，求出点的坐标，然后用代替得点的坐标，代入斜率公式看是否定值即可；（3）依题意，利用向量式得三点坐标间的关系，从而求，进而可求直线的方程，再确定两点坐标，在中利用余弦定理求.
试题解析：（1）设(＞0)，由已知得F，则|SF|=，∴=1，∴点S的坐标是(1,1)；
（2）①设直线SA的方程为
由得∴，∴.
由已知SA=SB，∴直线SB的斜率为，∴ ∴
②设E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，
∴ ，则∴ ∴直线SA的方程为，则，同理 ,∴