Question

18．在等比数列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16．设S_2n为该数列的前2n项和，T_n为数列{a_n²}的前n项和．若S_2n=tT_n，则实数t的值为3．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，a₅=16．可得a₁q=2，${a}_{1}{q}^{4}$=16，联立解得a₁，q．可得S_2n．a_n．同理可得：T_n．利用S_2n=tT_n，即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₂=2，a₅=16．∴a₁q=2，${a}_{1}{q}^{4}$=16，
联立解得a₁=1，q=2．
S_2n=$\frac{{2}^{2n}-1}{2-1}$=4ⁿ-1．
a_n=2^n-1，${a}_{n}^{2}$=2^2n-2．
T_n为数列{a_n²}的前n项和．∴T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
∵S_2n=tT_n，∴4ⁿ-1=t×$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
解得t=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．